ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008

Bài 1: (4 đ)
1) Cho biểu thức

Tìm điều kiện có nghĩa của B
Rút gọn B
2) Chứng minh rằng
chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên.
Bài 2: (4 đ)
1) Cho đa thức bậc hai
. Tìm a, b, c biết P(0)=33; P(1)=10; P(2)=2007
2) Chứng minh rằng:
với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác.
Bài 3: (2 đ)
Cho
. Tìm các số A, B, C, D, E để đẳng thức trên là đẳng thức đúng với mọi x>0 và x4
Bài 4: (6 đ)
Cho đoạn thẳng AC=m. Lấy điểm B bất kì thuộc đoạn AC (B A, B C). Tia Bx vuông góc với AC. Trên tia Bx lần lượt lấy các điểm D và E sao cho BD=BA và BE=BC.
a) Chứng minh rằng CD=AE và CD AE
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, CD. Gọi I là trung điểm của MN. chứng minh rằng khoảng cách từ điểm I đến AC không đổi khi B di chuyển trên đoạn AC.
c) Tìm vị trí của điểm B trên đoạn AC sao cho tổng diện tích hai tam giác ABE và BCD có giá trị lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất này theo m.
Bài 5: (4 đ)
Cho hình vuông ABCD. trên cạnh AB lấy điểm M. Vẽ BH vuông góc với CM. Nối DH, vẽ HN vuông góc DH (N thuộc BC).
a) Chứng minh rẳng đồng dạng với
b) Chứng minh rẳng AM.NB=NC.MB







ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2007 – 2008
Bài 1:
1)

a) Giải phương trình
=0











Vậy biểu thức B có nghĩa khi x 1 và x 10
b) ta có:





2)










Vì n(n+1) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2.
Do đó
. Vậy

Bài 2:
1)

P(0)=33
P(1)=10
P(2)=2007
Trừ vế theo vế của (2) và (1) ta được a = 1000
Thay a = 1000 vào (1) ta được b = - 1023
2)

Ta có:



Lấy (1), (2) và (3) nhân vế theo vế ta được:


(đpcm)
Bài 3:
Đặt
. Đẳng thức đã cho có dạng:

(*)
VP(*)=

=

Vì các hệ số của các hạng tử ở hai vế chứa lũy thừa cùng bậc của m phải bằng nhau ta có:

, giải ta tìm được A=1, B=-1; C=-2; D=-3; E=-4
Bài 4: (6 đ)
a) xét hai tam giác ABE và DBC, ta có:
AB=BD (gt)
BE=BC (gt)

Vậy
Gọi F là giao điểm của AE và CD, ta có:

(đối đỉnh)




mà
nên
hay CD AE
b) Gọi M’, I’, N’ lần lượt là hình chiếu của M, I, N xuống AC.
có M là trung điểm của AE, MM’//BE (cùng vuông góc với AC)
Nên MM’ là đường trung bình của hay
Chứng minh tương tự, ta có NN’ là đường trung bình của hay
Tứ giác MNM’N’ có MM’//NN’ (cùng vuông góc với AC) nên MNM’N’ là hình thang.
I là trung điểm của MN, II’//MM’//NN’ (cùng vuông góc với AC) nên II’ là đường trung bình của hình thang MNM’N’
(không đổi)
c) Vì nên
mà
Ta có:

Vì AB+BC=m (không đổi) nên
Dấu “=” xảy ra B là trung điểm của đoạn AC
Vậy maxđvdt) B là trung điểm của đoạn AC
Bài 5: (4 đ)
a) Xét và có:
(vì cùng phụ với góc
(vì cùng phụ với góc
Do đó